「Note」离散概率 复习

Just a review.

离散概率 $\mathtt{discrete \ probability}$

离散 $\mathtt{discrete}$，即是非连续性，意味着不用微积分而只用和式即可以计算。
对于这类可直接用和式计算的概率，就称为 离散概率。

定义 $\mathtt{definitions}$

如同函数有定义域一样，先给出概率的“定义域”，即是 概率空间 $\mathtt{probability \ space}$，概率空间是指由在一个给定问题中能发生的所有事件，以及赋予每个 基本事件 $\mathtt{elementrary \ event}$ $\omega \in \Omega$ 一个概率 $\mathrm{Pr(\omega)}$ 的规则所组成的集合 $\Omega$。

上面的定义提到了 事件 $\mathtt{event}$，一个 事件 即是 $\Omega$ 的一个子集，我们把 $\Omega$ 中的每一个单元素 $\omega$ 成为 $\Omega$ 的一个 基本事件 。

再对于上述的所有定义给出限制（即是满足的公理）

1. 非负性: $\forall \ \omega \in \Omega, \ \ \mathrm{Pr(\omega)} \in [0, 1]$
2. 规范性: $\sum_\limits{\omega \in \Omega} \mathrm{Pr(\omega)} = 1$
3. 可加性: $\exists X,Y \in \Omega, X \cap Y = \varnothing \rightarrow \mathrm{Pr(X \cup Y)} = \mathrm{Pr(X)} + \mathrm{Pr(Y)}$

再定义 随机变量 $\mathtt{random \ variable}$ 是定义在 基本事件 $\omega$ 上 函数 。
形象化地理解，当基本事件 为 $\mathtt{\omega}$ 时，对应的随机变量取值 $\alpha$。

独立性 $\mathtt{independent}$

现在对 独立性 $\mathtt{independent}$ 进行定义。$\exists X,Y \in \Omega, \mathrm{Pr(X \cap Y)} = \mathrm{Pr(X) \times Pr(Y)}$ 则称事件 $X$ 和事件 $Y$ 是独立的。
如果有多个事件 $X_{1 \dots n}$ 组成集合 $C$ ，若 $\mathrm{Pr(\bigcap_\limits{A \subseteq C} A)} = \prod_\limits{A \subseteq C} \mathrm{Pr(A)} , \forall \ A \subseteq C$，则称 $X_{1 \dots n}$是互相独立的。

$\mathtt{an \ example \ between \ definitions }$

抛骰子太复杂了，可以举抛硬币的例子。

发生的动作是 把一枚硬币抛两次。

概率空间 是 $\{ HH, HT, TH, TT \}$。
可以令事件 $A = \{ HH, HT \}$， $B = \{ HH, TH \}$， $C = \{ HH, TT \}$。
$\mathrm{A \cap B = A \cap C = B \cap C} = \mathrm{A \cap B \cap C} = \{HH, TT\}$。
可知 $\mathrm{Pr(A) = Pr(B) = Pr(C) = \frac{1}{2}}$，$\mathrm{Pr(A \cap B) = Pr(A) \times Pr(B) = Pr(A \cap C) = Pr(A) \times Pr(C) = Pr(B \cap C)} = Pr(B) \times Pr(C) = \frac{1}{4}$
则事件 $A, B$ 两两独立，$A, C$ 两两独立，$B, C$ 两两独立。
可知 $\mathrm{Pr(A \cap B \cap C)} = \frac{1}{4} \neq Pr(A) \times Pr(B) \times Pr(C)$。
则事件 $A, B, C$ 并不互相独立。

期望 $\mathtt{expected \ value}$

先引入 均值 $\mathtt{mean}$，它是所有值的和除以值的个数。

如果我们去计算 概率空降 上某个 随机变量 $X$ 的 均值 , 可以得到下面的式子。
$$ \sum_\limits{x \in X(\Omega)} x \times \mathrm{Pr}(X = x) $$
此处的 $X(\Omega)$ 表示使