「Note」2022-07-29 Geometry

听不懂了，好难过。
数学好难，我啥都不会。
该学的还是得学。

突然发现我连向量都搞不抻抖！

向量

• 定义: 既有大小又有方向的量。注意这里研究的都是自由向量，不需要关注向量的起点和终点。
• 有向线段: 起点 + 方向 + 长度
• 向量的模: 有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度被称为这个向量的模，记作 $\overrightarrow{\mid AB \mid}$ 或者 $\mid a \mid$ 。
• 零向量: 模为 $0$ 的向量。
• 单位向量: 模为 $1$ 的向量成为这个方向上的单位向量。
• 相等向量: 模相等且方向一致的两个向量被称为相等向量。
• 相反向量: 模相等且方向相反的两个向量被成为相反向量。
• 向量的夹角: 当前有两个向量记为 $a$ 和 $b$ ，作 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ ，那么 $\theta = \angle AOB$ 就称为两个向量的夹角，记为 $\langle a, b \rangle$。那么，当 $\theta = 0$ 时，两个向量方向一致；当 $\theta = \frac{\pi}{2}$ 时，两个向量垂直，可以沿用这个记号，$a \bot b$；当 $\theta = \pi$ 时，两个向量反向。

向量的线性计算

向量的加减

遵循平行四边形法则和三角形法则，不赘述。
所以如果有两点 $A,B$ ，要求 $\overrightarrow{AB}$ ，可以用 $\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 得到。

向量的数乘

规定 实数 $\lambda$ 和向量 $a$ 的乘积为一个 向量，记为 $\lambda a$ ，并且规定 $\mid \lambda a \mid = \mid \lambda \mid \mid a \mid$ ，如果 $\lambda < 0$ 则 $\lambda a$ 与 $a$ 反向，如果 $\lambda > 0$ 则 $\lambda a$ 与 $a$ 同向。
那么就可以推出
$$ \lambda (\mu a) = (\lambda \mu) a\\ (\lambda + \mu) a = (\lambda a) + (\mu a) \\ \lambda (a + b) = (\lambda a) + (\lambda b) \\ $$
注意
$$ (-\lambda) a = -(\lambda a) = -\lambda a\\ \lambda (a - b) = \lambda a -\lambda b\\ $$
有了数乘，就可以判定两个向量是否共线 ，即 $\lambda a = b \Longleftrightarrow a, b 两个向量共线$。

平面向量的基本定理及坐标表示

平面向量基本定理

如果两个向量 $e1, e2$ 不共线，那么存在唯一数对 $(x, y)$ ，使得与 $e1, e2$ 共面的任意向量 $p$ 满足 $p = xe1 + ye2$ 。
这个和线性相关就有点类似了，定理能告诉我们的就是说我们可以用任意两个不共线的向量 $e1, e2$ 表示出该平面上任意一个其他向量，类似地，也把 $e1, e2$ 称为基。更确切地，平面上不共线的两个向量称为基底。

用这个定理我们就可以对平面上的向量进行分解，当 $e1 \bot e2$ 时，这个分解操作被称为正交分解。

平面向量坐标表示

如果简单地取与横纵轴方向相同的单位向量 $i, j$ 作为基底，那么平面上的向量都与有序实数对 $(x, y)$ 一一对应。
可以把这个玩意投到平面向量上，则作 $\overrightarrow{OP} = p$ ，则终点 $P(x, y)$ 也唯一确定，于是就得到了向量在平面直角坐标系中可以用有序实数对唯一地表示。

平面向量的坐标运算

平面向量的线性运算

这个就轻松了，首先把要进行计算的向量用基底表示出来，然后用运算律合并。
则设 $a = (m, n), b = (p, q)$ ，与向量线性运算类似的有
$$ a + b = (m + p, n + q) \\ a - b = (m - p, n - q) \\ ka = (km, kn) \\ $$

求一个向量的坐标表示

设 $A(m, n), B(p, q)$，得到 $\overrightarrow{AB} = (p - m, q - n)$ 。

平移一点

看成两个向量运算就行。

判定三点共线

如果 $A, B, C$ 三点共线，则存在 $\lambda$ 使得 $\overrightarrow{OB} = \lambda \overrightarrow{OA} + (1 - \lambda)\overrightarrow{OC}$。
画图即可得证。

向量的数量积

对于两个向量 $a, b$ ，夹角为 $\theta$ ,那么有 $a \cdot b = \mid a \mid \mid b \mid \cos\theta$。
这个被称为点积，表示成几何意义就是 $a$ 的模与 $b$ 在 $a$ 的方向上的投影的乘积。
值得注意的时这个运算的结果是一个实数，是个标量，就不属于向量的线性运算。

向量点积的应用

• 判定两向量垂直: $a \cdot b = 0 \Longleftrightarrow a \bot b$
• 判定两向量共线: $a = \lambda b \Longleftrightarrow \mid a \cdot b \mid = \mid a \mid \cdot \mid b \mid$
• 数量积的坐标运算: $a = (m, n), b = (p, q)$, 则 $a \cdot b = mp + nq$
• 向量的模: $\mid a \mid = \sqrt{m^2 + n^2}$
• 两向量的夹角: $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{\mid a \mid \mid b \mid}$

  向量积

  注意与数量积区分，规定向量 $a, b$ 的向量积为一个向量，记为 $a \times b$ ，定义运算结果的模为 $\mid a \times b \mid = \mid a \mid \mid b \mid \sin \langle a, b \rangle$，在方向上，与 $a, b$ 都垂直。你问我怎么和两个向量都垂直，我告诉你这个是在空间里定义的。
  可以关注到这个运算方式，这个是有几何意义的，$\mid a \times b \mid$ 表示以 $a, b$ 为邻边的平行四边形的面积。
  关于右手定理，逆正顺负。
  注意的是这个运算的顺序。

  向量旋转

  设 $a = (x, y)$，倾角为 $\theta$ ，长度为 $l$，可以拿到 $x = l \cos \theta$，$y = l \sin \theta$ ，将它逆时针旋转 $\alpha$ 得到 $a'=(l \cos(\theta + \alpha), l \sin(\theta + \alpha))$。
  直接化简得到 $a' = ( l (\cos \theta \cos \alpha - \sin \theta \sin \alpha), l(\sin \theta \cos \alpha + \cos \theta \sin \alpha))$。
  然后把上面的 $x, y$ 代回来，$a' = (x \cos a - y \sin a, y \cos a + x \sin a)$ 。

极坐标与极坐标系

只是要用到弧度制，这个就没必要写了。

基本公式

正弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，若 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ , 则 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$ ，$R$ 是这个三角形外接圆的半径。

余弦定理

在 $\triangle ABC$ 中，若 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ , 则
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ ，其中 $a, b, c$ 可以轮换，方便记忆为 对边平方等于两夹边平方和减二倍两夹边与夹角余弦的乘积。

基本操作

判断一个点在直线的哪边

现在直线上取一点 $P$, 拿到该直线的方向向量 $v$ ，现在要判断 $Q$ 在直线的那一侧，可以利用向量积，算出 $\overrightarrow{PQ} \times v$ ，如果为负，则在该直线的上方，如果为 $0$ ，则在该直线上，否则在该直线的下方。

快速排斥实验与跨立实验

因为快速排斥实验没用，就不写。
跨立实验讲的是判断两条线段是否相交，如果，两条线段相交，则其中一条线段的两个端点一定分布在另一条线段所在直线的两次，可以通过四次判定来做，但要特判两条线共线的情况。

求两直线的交点

首先判是否相交，判一下方向向量是否相同就行了。