Raisetsu41's Blog

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1. $(3x-2y)^{18}$的展开式中，$x^5y^{13}$系数是什么？$x^8y^9$ 的系数是什么？

$x^5y^{13}$是第$6$项，系数是$\dbinom{18}{6} \times 3^{5} \times 2^{5}$ $x^8y^9$是第$9$项，系数是$\dbinom{18}{9} \times 3^{8} \times 2 ^ {9}$

2.用二项式定理证明：$3^n=\sum\limits_{k=0}^n2^k$,扩展此结果，对任意实数$r$ 求和 $\sum\limits_{k=0}^nr^k$

$3^{n} = (2 + 1) ^ n = \sum_{k = 0} ^ n \dbinom{n}{k} 2 ^ {k} \times 1 ^ {n - k} = \sum\limits_{k=0}^n2^k$

扩展：$\sum_{k = 0} ^ n r ^k = (r + 1) ^ n$

3.用二项式定理证明：$2^n=\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n}{k}3^{n-k}$

$2 ^ n = (3 - 1) ^ n = (3 + (-1)) ^ n = \sum_{k = 0} ^ n \dbinom{n}{k} \times 3 ^ {n - k} \times (-1) ^ k = \sum_{k = 0} ^ n(-1) ^ k \dbinom{n}{k} 3 ^ {n - k}$

4.求和：$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n}{k}10^k$

$\sum_{k = 0} ^ n (-1) ^ k \dbinom{n}{k} 10 ^ k = (-10 + 1) ^ n = (-9) ^ n$

5.使用组合分析的方法证明：$\dbinom{n}{k} - \dbinom{n-3}{k} = \dbinom{n-1}{k-1}+\dbinom{n-2}{k-1}+ \dbinom{n-3}{k-1}$

$\dbinom{n}{k}$ 表示前$n$个选择$k$个的方案数，$\dbinom{n - 3}{k}$表示前$n - 3$个选择$k$个的方案数，相减就表示至少在$[n - 2, n]$中选择了一个的方案数，相当于依次枚举在前$[n - 3, n - 1]$个中只选择$k - 1$个方案数的和。

6.设 $n$ 是正整数，证明：$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{n}{k}^2 = \begin{cases} 0，若n是奇数\\ (-1)^m\dbinom{2m}{m}， 若n=2m\end{cases}$

当$n$为奇数时，前后可以抵消。

当$n$为偶数时，$???$

7.求出等于下列表达式的二项式系数：$\dbinom{n}{k} = 3\dbinom{n}{k-1}+3\dbinom{n}{k-2}+\dbinom{n}{k-3}$

8.证明：$\dbinom{r}{k}=\frac{r}{r-k}\dbinom{r-1}{k}$,其中$r$为实数，$k$是实数且 $r \neq k$

$\dbinom{r}{k} = \frac{r}{k} \dbinom{r - 1}{k - 1} = \frac{r}{k} \times \frac{(r - 1)!}{(k - 1)!(r- k)!} = \frac{r}{r-k} \times \dfrac{(r - 1)!}{k!(r-1-k)!} = \dfrac{r(r-1)!}{k!(r - k)!} = \frac{r}{r - k} \dbinom{r - 1}{k}$

9.求和：$1-\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}-\frac{1}{4}\dbinom{n}{3}+...+(-1)^n\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n}$

$$ > 1-\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}-\frac{1}{4}\dbinom{n}{3}+...+(-1)^n\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n} \\ > =1 - \dfrac{1 \times n!}{2 \times 1! \times (n - 1)!} + \dfrac{1 \times n!}{3 \times 2! \times (n - 2)!} - \dfrac{1\times n!}{4\times 3! \times(n - 3)}! + \dots + (-1) ^ n \dfrac{1 \times n!}{(n + 1) \times n! \times (n - n)!}\\ > = \dfrac{\sum_{k=0}^{n} (-1) ^ k \dbinom{n+1}{k+1}}{n + 1}\\ > = \dfrac{1}{n+1} > $$

10.证明：$\dbinom{n+1}{k+1}=\dbinom{0}{k}+\dbinom{1}{k}+...+\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n}{k} 以及m^2=2\dbinom{m}{2}+\dbinom{m}{1}$

从组合意义证明，左式表示从$a_1,a_2,a_3,\dots a_{n + 1}$中选出$k + 1$个元素的方案数。

那么对于$\dbinom{i}{k}$表示不选前$n - i - 1$个元素，但一定选择第$i$元素，那么就只能从剩下的$i$个元素中再选出$k$个。

从组合意义证明，左式表示从$m$个元素中选出两个元素(可相同)组成有序坐标数，右式表示从$m$个元素中选出两个元素(可相同)组成有序坐标数与横纵坐标相同的坐标数。两式显然相等。

11.求整数 $a$、$b$和$c$，使得对所有的$m$有：$m^3 = a\dbinom{m}{3}+b\dbinom{m}{2}+c\dbinom{m}{1}$

即是 $a = 6, b = 6, c = 1$

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二项式定理

定理$1$: $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n(^n_k)x^ky^{n - k}$

证明$1$:
$$ 当n=1时,公式显然成立.假设公式对于n成立\\ (x+y)^{n+1} = (x + y)^n \times (x+y)\\ =(x+y) \times \sum_{k=0}^n \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k}\\ =x\sum_{k=0}^n \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k} + y\sum_{k=0}^n \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k}\\ =\sum_{k=0}^n \dbinom {n}{k} x^{k + 1}y^{n - k} + \sum_{k=0}^n \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k + 1}\\ =\sum_{k=1}^{n+1} \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k + 1} + \sum_{k=0}^n \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k + 1}\\ =\sum_{k=1}^n \dbinom {n}{k} x^ky^{n - k+1} + x^{n+1}+y^{n+1} \\ =\sum_{k=0}^{n + 1} \dbinom {n}{k} x^ky^{n+ 1 - k} \\ 即公式对n+1成立 $$

组合恒等式

定理$1$: $\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}$

证明$1$:从组合意义证明，$\dbinom{n}{k}$表示从$n$个物品中留下$k$个的方案数，$\dbinom{n}{n - k}$表示从$n$个物品中拿走$n-k$个的方案数，两者是等价的。

定理$2$:$\dbinom{n}{k}=\frac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$

证明$2$:可以用公式法。$\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n}{k}\times \frac{(n - 1)!}{(k-1)![(n - 1) - (k - 1)]!} = \frac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$

定理$3$:$\dbinom{n}{k}=\dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1}$

证明$3$:从组合意义证明，$\dbinom{n}{k}$表示从$n$个物品中选$k$个的方案数，考虑当前的物品，有选它与不选两种情况，如果选它，就等价于从$n - 1$个物品中选$k - 1$的方案数$\dbinom{n - 1}{k}$；如果不选，就等价于从$n - 1$个物品中选$k$个的方案数$\dbinom{n - 1}{k - 1}$，相加即是总方案数。

定理$4$: $\sum_{k = 0} ^ {n} \dbinom{n}{k} = 2^n$

证明$4$:从组合意义证明，$\sum_{k = 0} ^ {n} \dbinom{n}{k}$表示从$n$个物品中任意选任意个的方案数，考虑每个物品，有选与不选两种情况，一共就有$2^n$种方案数。

定理$5$: $\sum_{k = 0} ^ {n} (-1) ^k \dbinom{n}{k} = 0$

证明$5$:因为$\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}$,且$$\dbinom{n}{k}$$ 和$\dbinom{n}{n-k}$必定反号，所以等于$0$.

定理$6$:$\sum_{k = 0} ^ {n} k \dbinom{n}{k} = n 2 ^ {n - 1}$

证明$6$:因为$\dbinom{n}{k}=\frac{n}{k}\dbinom{n-1}{k-1}$，$\sum_{k = 0} ^ {n} k \dbinom{n}{k} = \sum_0^n n \dbinom{n - 1}{k - 1}=n\sum_0^n\dbinom{n - 1}{k - 1} = n2^{n - 1}$

定理$7$:$\sum_{l=0}^n\dbinom{l}{k} = \dbinom{n + 1}{k + 1} n, k \in \mathrm{N}$

证明$7$:从组合意义证明，依次考虑每个元素$A_i$是否包含在集合$\mathrm{S}|\mathrm{S} \in \mathrm{A},|\mathrm{S}|=k+1$中,含$A_1$，方案数为$\dbinom{n}{k}$,不含$A_1$,含$A_2$,方案数为$\dbinom{n - 1}{k}$,$\dots$,不含$A_1, A_2, \dots, A_{n}$,含$A_{n+1}$，方案数为$\dbinom{0}{k}$。转换为变下项求和。